1  (10分)

    设f(n)和g(n)分别是定义在自然数集上的函数，并满足以下条件。

    (1) f(1)≤g(1)；

    (2) 对任意自然数n，有f(n)-f(n-1)≤g(n)-g(n-1)。

    试证：f(n)≤g(n)。

    并证明下列不等式

    。

  2  (12分)

    如图所示

图3  习题2图

    求V₁到各顶点的最短路径，并写出它们的权。

  3  (12分)

    记N       _k={0,1,2,...,k-1}，N_k上的二元运算Å定义为

   

    其中a,bÎN_k。

    试证：在代数系(N_k,Å)中，Å是可结合运算。

  4  (10分)

    试证：在n+1个小于等于2n的不相等正整数中，一定存在两个是互质的。

  5  (10分)

    有8个小孩在旋转木马上，如果让他们交换座位，使得每一个小孩的前边都不是原来在他前边的小孩，问有多少种方法。

  6  (12分)

    设a₁,a₂ÎZ(整数集合)，且a₁,a₂不全为零，则a₁,a₂的最大公因数是集合

    Q={b₁a₁+b₂a₂ | b₁,b₂ÎZ}

    中的最小正整数。

  7  (12分)

    设G是一个群，a,bÎG。由a生成的循环群(a)，其周期为质数p，且aÏ(b)。

    试证：(a)∩(b)={e}。

    注：(b)表示由b生成的循环群，e表示单位元。

  8  (10分)

    计算n阶行列式

       

  9  (12分)

    求解h_n，它满足下列关系。